Teorias de calibre desempenham um papel central na física moderna, fornecendo uma estrutura unificada para descrever as interações fundamentais da natureza. A introdução da invariância de calibre local no Lagrangiano de Dirac leva ao acoplamento de campos fermiônicos com campos de calibre, abrindo caminho para o desenvolvimento da eletrodinâmica quântica (QED) e outras teorias de calibre. Este documento explora a formulação do Lagrangiano de Dirac livre, sua invariância sob simetrias globais e locais, e a derivação da interação eletromagnética por meio da introdução de uma derivada covariante.
O Lagrangiano de Dirac livre é
\[
L = i\bar{\psi}(x)\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi(x) – m\bar{\psi}(x)\psi(x)
\]
Onde:
\[
\bar{\psi}(x) = \psi(x)^{\dagger}\gamma^{0}
\]
\[
\gamma^{\mu} = \begin{pmatrix}
0 & \bar{\sigma}^{\mu} \
\sigma^{\mu} & 0
\end{pmatrix}
\]
O Lagrangiano livre acima é invariante sob uma simetria de fase global \( \psi'(x) = e^{i\alpha}\psi(x) \):
\[
L’ = i\bar{\psi’}(x)\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi'(x) – m\bar{\psi’}(x)\psi'(x)
\]
\[
= i\bar{\psi}(x)e^{-i\alpha}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi(x)e^{i\alpha} – m\bar{\psi}(x)e^{-i\alpha}\psi(x)e^{i\alpha}
\]
\[
= i\bar{\psi}(x)e^{-i\alpha}e^{i\alpha}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi(x) – m\bar{\psi}(x)e^{-i\alpha}e^{i\alpha}\psi(x)
\]
\[
L’ = L
\]
Agora vejamos o que acontece se o parâmetro \( \alpha \) da simetria de fase passar a depender da posição \( \alpha(x) \). Nesse caso, a nova simetria será chamada de simetria de calibre:
\[
\psi'(x) = e^{i\alpha(x)}\psi(x)
\]
\[
\partial_{\mu}\psi'(x) = e^{i\alpha(x)}\partial_{\mu}\psi(x) + i\psi(x) e^{i\alpha(x)}\partial_{\mu}\alpha(x)
\]
Ao calcular a derivada \( \partial_{\mu}\psi'(x) \), encontramos um termo adicional \( i\psi(x)e^{i\alpha(x)}\partial_{\mu}\alpha(x) \), que não pode ser desfeito.
Para resolver isso, introduzimos um novo tipo de derivada, a derivada covariante, definida como:
\[
\partial_{\mu}\psi \to D_{\mu}\psi \quad \text{e} \quad \partial_{\mu}\bar{\psi} \to \overline{D_{\mu}\psi}
\]
Para que o novo termo \( i\bar{\psi}(x)\gamma^{\mu}D_{\mu}\psi(x) \) permaneça invariante, é necessário que:
\[
\bar{\psi’} = A\bar{\psi}, \quad (D_{\mu}\psi)’ = BD_{\mu}\psi, \quad A = B^{-1}
\]
Ou seja,
\[
\bar{\psi}’ = e^{-i\alpha(x)}\bar{\psi}
\]
\[
(D_{\mu}\psi)’ = e^{i\alpha(x)}D_{\mu}\psi, \quad (\overline{D_{\mu}\psi})’ = e^{-i\alpha(x)}\overline{D_{\mu}\psi}
\]
Assim, o novo Lagrangiano invariante sob simetria local é:
\[
L = i\bar{\psi}(x)\gamma^{\mu}D_{\mu}\psi(x) + i\overline{D_{\mu}\psi(x)}\gamma^{\mu}\psi(x) – m\bar{\psi}(x)\psi(x)
\]
A forma mais simples da derivada covariante é:
\[
D_{\mu}\psi = \partial_{\mu}\psi + ieA_{\mu}(x)\psi
\]
\[
\overline{D_{\mu}\psi} = (\partial_{\mu}\psi)^{\dagger}\gamma^{0} = \partial_{\mu}\bar{\psi} – ieA_{\mu}(x)\bar{\psi}
\]
O termo \( A_{\mu}(x) \) transforma-se como:
\[
A_{\mu}'(x) = A_{\mu}(x) – \frac{1}{e}\partial_{\mu}\alpha(x)
\]
Finalmente, a dinâmica de \( A_{\mu}(x) \) é introduzida através do tensor de campo:
\[
[D_{\mu}, D_{\nu}] = ie(\partial_{\mu}A_{\nu} – \partial_{\nu}A_{\mu}) = ieF_{\mu\nu}
\]
Resultando no Lagrangiano:
\[
L = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + i\bar{\psi}(x)\gamma^{\mu}D_{\mu}\psi(x) – m\bar{\psi}(x)\psi(x)
\]
Ou de forma equivalente:
\[
L = -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + i\bar{\psi}(x)\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi(x) – m\bar{\psi}(x)\psi(x) – ie\bar{\psi}(x)\gamma^{\mu}A_{\mu}(x)\psi(x)
\]
A equação de movimento para \( \psi(x) \) é:
\[
(i\hbar\gamma^{\mu}\partial_{\mu} – mc – ie\gamma^{\mu}A_{\mu}(x))\psi(x) = 0
\]
Ao exigir a simetria de calibre no Lagrangiano, foi necessário adicionar um novo campo \( A_{\mu}(x) \), que neste caso é o campo eletromagnético, cuja partícula é o fóton. O resultado final descreve o acoplamento eletromagnético com os férmions.